Geometria Diferencial - Uma Introdução Fundamental

Este livro tem como ponto de partida um curso semestral de Geometria Diferencial, destinado aos estudantes do terceiro ano da licenciatura em Matemática, mas o seu conteúdo vai bastante mais além do que o que é possível abordar nesse curso. O objetivo central é o estudo elementar das subvariedades de um espaço euclidiano, tanto do ponto de vista da Topologia Diferencial como do da Geometria Diferencial. As variedades diferenciáveis abstratas são abordadas apenas no último capítulo, onde se demonstra, em particular, o teorema do mergulho de Whitney, que permite estender a estas muito do que foi estudado anteriormente. Alguns aspetos que distinguem este trabalho da maioria dos outros livros com o mesmo caráter introdutório incluem o estudo das variedades com bordo e com cantos e o dos fibrados vetoriais com as fibras contidas num espaço euclidiano; a segunda forma fundamental destes é aplicada, por exemplo, na abordagem das propriedades clássicas das curvas e das hipersuperfícies. Na tentativa de tornar o livro tão autosuficiente quanto possível, são dedicados dois capítulos a uma revisão rápida do Cálculo Diferencial, no quadro dos espaços vetoriais de dimensão finita, e ao estudo da existência e regularidade das soluções de equações diferenciais ordinárias, relativamente às condições iniciais e a eventuais parâmetros.